Éléments d’analyse réelle (MES41522)

Contenu

Définition de l’ensemble des nombres réels : axiomes de corps, d’ordre et de complétude. Sous-ensembles de l’ensemble des réels, bornés ou non. Densité de l’ordre des sous-ensembles de l’ensemble des réels. Distinction entre maximum-supremum et entre minimum-infimum. Suites de nombres réels : définition d’une suite numérique, étude de sa convergence, définition formelle de la notion de limite d’une suite numérique. Séries numériques : définitions de la somme d’une série et des critères de convergence. Séries géométriques, série harmonique, séries télescopiques. Formalisation de la notion de développement décimal infini par l’étude de suites et séries numériques. Définition des nombres pi, e, le nombre d’or et d’autres nombres irrationnels comme la limite d’une suite ou la somme d’une série. Nombres algébriques et transcendants. Cardinal de l’ensemble des nombres naturels, de l’ensemble des rationnels et de l’ensemble des réels. Caractéristiques des fonctions à valeurs réelles. Fonctions continues en un point et sur un intervalle réel dans un registre algébrique. Lien et distinction entre les registres graphiques et algébriques. Théorèmes relatifs aux fonctions continues définies sur un intervalle et leurs applications. Variations de fonctions dans un registre algébrique. Liens entre variation et dérivée.